题目

如图，在 \(\odot C\) 中，是不是只需知道 \(\odot C\) 的半径或弦 \(AB\) 的长度，就可以求出 \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) 的值？

解析

• 条件提取：\(C\) 是圆心，\(A,B\) 在圆上，所以 \(CA=CB=R\)。设弦长 \(AB=d\)。
• 建模：\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|AB||AC|\cos\angle BAC=dR\cos\angle BAC\)。
• 计算：由余弦定理，\(\cos\angle BAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB\cdot AC}=\frac{d^2+R^2-R^2}{2dR}=\frac{d}{2R}\)。
• 结论：\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=dR\cdot\frac{d}{2R}=\frac12d^2=\frac12|AB|^2\)。因此只知道弦 \(AB\) 的长度可以求出；只知道半径不可以。

近似题

在以 \(C\) 为圆心的圆中，\(A,B\) 是圆上两点。若 \(|AB|=8\)，求 \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\)。