2026-06-29 第6题：参数范围与方程解的个数
题目
函数 \(f(x)=\sin x\)。若方程 \(f(x)-4[f(x)]^2=a\) 在区间 \((\frac\pi6,\pi)\) 内有两个不同的解，则实数 \(a\) 的取值范围为（ ）。
- A. \(\left(-1,0\right)\cup\left(0,\dfrac1{16}\right)\)
- B. \(\left(-1,-\dfrac12\right)\cup\left(\dfrac1{16},\dfrac12\right)\)
- C. \(\left(-3,-1\right)\cup\left(0,\dfrac14\right)\)
- D. \(\left(-3,-\dfrac12\right)\cup\left(0,\dfrac1{16}\right)\)
解析
- 条件提取：设 \(t=\sin x\)。当 \(x\in(\frac\pi6,\pi)\) 时，\(t\in(0,1]\)，其中 \(t\in(\frac12,1)\) 会对应两个不同的 \(x\)。
- 建模：方程化为 \(g(t)=t-4t^2=a\)，问题变成水平线 \(y=a\) 与抛物线 \(g(t)\) 的交点，再判断每个 \(t\) 对应几个 \(x\)。
- 计算：\(g(1)=-3,\ g(\frac12)=-\frac12,\ g(0)=0,\ g(\frac18)=\frac1{16}\)。因此 \(t\in(\frac12,1)\) 给出 \((-3,-\frac12)\)，而 \(0\lt a\lt\frac1{16}\) 时两个 \(t\) 根分别产生一个 \(x\)，也恰好两个解。
- 结论：\(a\in(-3,-\frac12)\cup(0,\frac1{16})\)，选 D。
近似题
若方程 \(\sin x-3\sin^2x=a\) 在区间 \((\frac\pi6,\pi)\) 内有两个不同的解，求 \(a\) 的取值范围。
近似题答案
\(\boxed{\left(-2,-\frac14\right)\cup\left(0,\frac1{12}\right)}\)
近似题解题思路
设 \(t=\sin x\)，则 \(h(t)=t-3t^2\)。在 \(t\in(\frac12,1)\) 上，\(h(t)\in(-2,-\frac14)\) 且一个 \(t\) 对应两个 \(x\)；在 \(t\in(0,\frac16)\) 与 \(t\in(\frac16,\frac12)\) 两侧各有一个 \(t\) 根时，对应两个 \(x\)，得 \(0\lt a\lt\frac1{12}\)。
2026-06-29 第7题：正切函数性质判断
题目
已知函数 \(f(x)=\tan(-x+\frac\pi3)\)，则下列说法正确的是（多选）。
- A. \(f(x)\) 的定义域是 \(\{x\mid x\ne k\pi-\dfrac\pi6,\ k\in\mathbb Z\}\)
- B. \(f(x)\) 的最小正周期为 \(2\pi\)
- C. \(f(x)\) 在区间 \((k\pi-\dfrac\pi6,\ k\pi+\dfrac{5\pi}6)\ (k\in\mathbb Z)\) 上单调递减
- D. \(f(x)\) 图像的对称中心为 \((k\pi+\dfrac\pi3,0)\ (k\in\mathbb Z)\)
解析
- 定义域：令 \(\frac\pi3-x=\frac\pi2+k\pi\)，得 \(x=k\pi-\frac\pi6\)，所以 A 正确。
- 周期：\(\tan u\) 的最小正周期为 \(\pi\)，内层系数绝对值为 \(1\)，所以周期仍为 \(\pi\)，B 错误。
- 单调性：\(\tan u\) 对 \(u\) 递增，但 \(u=\frac\pi3-x\) 随 \(x\) 递减，所以每个定义区间内函数递减，C 正确。
- 对称中心：令 \(\frac\pi3-x=k\pi\)，得 \(x=k\pi+\frac\pi3\)，D 正确。
近似题
已知 \(g(x)=\tan(2x-\frac\pi4)\)，写出定义域、最小正周期、单调区间和对称中心。
近似题答案
定义域：\(x\ne\frac{3\pi}8+\frac{k\pi}2\)；周期：\(\frac\pi2\)；在 \((-\frac\pi8+\frac{k\pi}2,\frac{3\pi}8+\frac{k\pi}2)\) 上递增；对称中心：\((\frac\pi8+\frac{k\pi}2,0)\)。
近似题解题思路
把 \(2x-\frac\pi4\) 分别代入正切函数的无定义点 \(\frac\pi2+k\pi\)、中心 \(k\pi\) 和单调区间 \((-\frac\pi2+k\pi,\frac\pi2+k\pi)\)，再除以内层系数 \(2\)。
2026-06-29 第8题：由图像信息反推三角函数参数
题目
已知函数 \(f(x)=\sin(\omega x+\varphi)\)，\(0\lt\omega\lt3,\ |\varphi|\lt\frac\pi2\)。图像和直线 \(y=\frac{\sqrt2}{2}\) 相邻两交点为 \(A(x_1,\frac{\sqrt2}{2})\)、\(B(x_2,\frac{\sqrt2}{2})\)，若 \(|x_1-x_2|=\frac\pi3\)，且 \(y=f(x-\frac\pi6)\) 为奇函数，则下列说法正确的是（多选）。
- A. \(\omega=2\)
- B. \(\varphi=\dfrac\pi4\)
- C. 函数 \(f(x+\dfrac\pi6)\) 为偶函数
- D. 函数 \(f(x)\) 在区间 \((0,\dfrac\pi3)\) 上单调递增
解析
- 角差：\(\sin\theta=\frac{\sqrt2}{2}\) 的相邻两解角差为 \(\frac\pi2\)。由 \(\theta=\omega x+\varphi\)，得 \(\omega|x_1-x_2|=\frac\pi2\)。
- 求 \(\omega\)：代入 \(|x_1-x_2|=\frac\pi3\)，得 \(\omega=\frac32\)，所以 A 错。
- 求 \(\varphi\)：\(f(x-\frac\pi6)=\sin(\frac32x-\frac\pi4+\varphi)\) 为奇函数，结合 \(|\varphi|\lt\frac\pi2\)，得 \(\varphi=\frac\pi4\)，所以 B 对。
- 判断选项：\(f(x+\frac\pi6)=\sin(\frac32x+\frac\pi2)=\cos\frac32x\)，为偶函数，C 对；\(f(x)\) 在 \((0,\frac\pi3)\) 上角变量跨过 \(\frac\pi2\)，不全递增，D 错。
近似题
已知 \(f(x)=\sin(\omega x+\varphi)\)，\(0\lt\omega\lt4\)，与直线 \(y=\frac{\sqrt2}{2}\) 的相邻交点横坐标距离为 \(\frac\pi4\)，且 \(f(x-\frac\pi{12})\) 为奇函数，求 \(\omega,\varphi\)。
近似题答案
\(\boxed{\omega=2,\ \varphi=\frac\pi6}\)
近似题解题思路
\(\sin\theta=\frac{\sqrt2}{2}\) 的相邻两解角差为 \(\frac\pi2\)，所以 \(\omega\cdot\frac\pi4=\frac\pi2\)，得 \(\omega=2\)。奇函数条件给出 \(\varphi-\omega\frac\pi{12}=k\pi\)，结合 \(|\varphi|\lt\frac\pi2\)，得 \(\varphi=\frac\pi6\)。