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习题 6.2 第21题：外接圆圆心与投影向量
题目
已知 \(\triangle ABC\) 的外接圆圆心为 \(O\)，且
\(2\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC},\quad |OA|=|AB|\)。
则向量 \(\overrightarrow{BA}\) 在向量 \(\overrightarrow{BC}\) 上的投影向量为（ ）。
- A. \(\dfrac14\overrightarrow{BC}\)
- B. \(\dfrac{\sqrt3}{4}\overrightarrow{BC}\)
- C. \(-\dfrac14\overrightarrow{BC}\)
- D. \(-\dfrac{\sqrt3}{4}\overrightarrow{BC}\)
解析
- 条件提取：由 \(2\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\)，得 \(\overrightarrow{AO}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\)，所以 \(O\) 是 \(BC\) 的中点。
- 几何建模：\(O\) 又是外接圆圆心，因此 \(OA=OB=OC\)。若 \(O\) 是 \(BC\) 中点，则 \(BC\) 是外接圆直径，\(\angle A=90^\circ\)。
- 计算：由 \(|OA|=|AB|\)，且 \(OA=\frac12BC\)，得 \(AB=\frac12BC\)，所以 \(\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac12\)。投影系数为 \(\frac{|BA|}{|BC|}\cos B=\frac12\cdot\frac12=\frac14\)。
- 结论：\(\operatorname{proj}_{\overrightarrow{BC}}\overrightarrow{BA}=\dfrac14\overrightarrow{BC}\)，选 A。
近似题
已知 \(\triangle ABC\) 的外接圆圆心为 \(O\)，且 \(O\) 是 \(BC\) 的中点，\(|AB|=\frac12|BC|\)。求 \(\overrightarrow{BA}\) 在 \(\overrightarrow{BC}\) 上的投影向量。
近似题答案
\(\boxed{\dfrac14\overrightarrow{BC}}\)
近似题解题思路
\(O\) 是外接圆圆心且为 \(BC\) 中点，所以 \(BC\) 是直径，\(\angle A=90^\circ\)。再由 \(|AB|=\frac12|BC|\)，得 \(\cos B=\frac12\)，投影系数为 \(\frac{|BA|}{|BC|}\cos B=\frac14\)。